高次元多様体の世界の幾何的構成的な理解と高次元データへの応用

整理番号 20200027
種別 若手研究-短期共同研究
研究計画題目 高次元多様体の世界の幾何的構成的な理解と高次元データへの応用
研究代表者 北澤 直樹(九州大学マス・フォア・インダストリ研究所・学術研究員)
研究実施期間 2021年7月12日(月)~ 2021年7月15日(木)
研究分野のキーワード 可微分写像の特異点論、多様体の代数トポロジー、多様体の微分トポロジー、Fiber Topology、機械学習、可視化
本研究で得られた成果の概要 第四次産業革命は、いわゆる"ビッグデータ"を多く生むようになった。データの集まりは、空間の中の点の集まりとみなせる。中でも、工業製品設計などで、3 次元の部分空間に収まらず可視化がそのままではできないようなものを扱う必要が多く出てくるようになった。データの解析で重要な数学的手法として、射影(例えば主成分分析)やフィッティング(例えば多様体学習等)がある。これらは低い次元のデータセットには有効だが、高い次元では限界がある。
高次元のデータの解析方法の確立を目指し、研究代表者が開拓してきた

高次元の図形(多様体)を低次元空間への具体的な良い可微分写像で射影写像することを通してみ、調べるという手法

を検討し可能性を探ろうと本研究プロジェクトは創設された。この手法は、多様体上の良い可微分関数の特異点をもとに多様体のホモロジーやホモトピー等トポロジーの情報を捉える所謂 Morse 理論やその高次元化といえる、それなりに確立され発展している幾何学の手法が原点にある。高次元の複雑な空間を幾何的構成的に理解するという、重要な未開拓の難題に応用しようと進めている。
確立まではまだ距離があるものの、成果として以下の重要な問題が開拓された。


1多目的最適化問題の難易度やランク付けに、写像の逆像の連結成分を 1 点に圧縮することで得られる空間である Reeb 空間のトポロジーの情報を活用する。
2 Fiber Topology は、前述の Reeb 空間を用いてデータのつながりを大まかに捉えることで可視化解析しようというものである。1・2 次元の Reeb 空間で済ませている部分を高次元化したり、逆像の幾何的情報を残せるような手法を開拓する。
3 1・2 の問題や他の数学の手法が適用されるような問題を発見発掘する。また、実問題に一連の手法が応用できるか検討する。
組織委員(研究集会)
参加者(短期共同利用)
濱田 直希(KLab Inc.・研究員)
北澤 直樹(九州大学マス・フォア・インダストリ研究所・学術研究員)
佐伯 修(九州大学マス・フォア・インダストリ研究所・教授(所長))
櫻井 大督(九州大学汎オミクス計測・計算科学センター・准教授)
高橋 成雄(会津大学・教授)
アドバイザー 濱田 直希(KLab株式会社)